Rusfams: September 2011

TEORI RELATIFITAS EINSTEIN

Teori relatifitas khusu berdasarkan dua postulat, yaitu:

(1) Hukum-hukum fisika berlaku sama untuk semua kerangka acuan inersial, apabila salah satu kerangka acuan bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka yang lain.

(2) Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat.

Kedua postulat diatas digunakan untuk membuktikan hipotesis Lorentz dalam mengatasi kegagalan percobaan Michelson dan Morley.

1. Transformasi Lorentz

Transformasi Lorentz, berawal dari sinyal (kilatan) cahaya dari suatu tempat relatif terhadap dua kerangka acuan (pengamat )

Tinjau partikel A ( misalnya sumber cahaya ). Bila partikel A memancarkan cahaya dengan kecepatan c, maka setelah sewlang waktu t cahaya sampai di pengamat diam S. Jarak yang diukur pengamat S adalah :

SA = r = c t

r²= c² t²

Dari trigonimetri : r² = x² + y² + z²

x² + y² + z² = c² t²……………………………………………………….(8)

berdasarkan dengan itu, pengamat S juga mengukur jarak yang ditempuh pengamat S’ yaitu :

SS’ = v . t

Pengamat di S’ yang bergerak dengan kecepatan tetap v relative terhadap S akan mengamati kilatan cahaya setelah selang waktu t’ ( ingat waktu kilat cahaya dari A ke S dan S’ tidak sama).

Pengamat S’ mengukur jarak :

S’A = r’ = c t’

r‘²= c² t’²

Trigonimetri : r’² = x’² + y’² + z’²

x’² + y’² + z’² = c² t’²…………………………………………………(9)

dengan mengacu persamaan transformasi Galileo-Galilei (persamaan 2), maka persamaan transformasi Lorentz berbentuk:

x’ = k (x - vt)

t’ = a (t - bx)……………………………………………………………….(10)

y’ = y

z’ = z

k,a dan b : faktor pembanding (konstanta) .

bila persamaan (10) disubtitusikan ke persamaan (9), maka diperolah :

k² (x-vt)² +y² + z² = c²a² (t - bx)²

k² (x² - 2xvt+ v²t²) + y² +z² = c² a² (t² – 2 t b x + b²x²)

k²x² – 2 k² x v t + k² v² t² + y² + z² = c²a² t b x + c²a²b²x²

(k² – c²a²b²) x² – 2 (k² v – c² a² b) t x + y² + z² =

c²t² ………..(11)

Persamaan (11) identik degan persamaan (8), sehingga diperoleh :

k² – c² a² b² = 1

k² v – c² a² b = 0

a² -

= 1

dari persamaan ke-3 persamaan ini diperoleh suatu penyelesaian :

k = a =

dan b =

( buktikan)

jadi transformasi Lorentz pada persamaan (10) menjadi :

atau

y’ = y

z’ = z …………………(12)

atau

Persamaan (12) merupakan transformasi Lorentz, seorang ahli fisika bangsa jerman dikemukaakan pada tahun 1890.

Catatan:

Bila persamaan (12) diambil v<< c ( v jauh lebih kecil c) , maka faktor

≈ 0 dan

≈ 0

y’ = y …. Transformasi Galileo- Galilei.

z’ = z

Jadi keadaan khusus transformasi Lorentz (v << c) sama dengan transformasi Galileo-Galilei yang berlaku untuk benda makro.

Bila persamaan (12) diturunkan terhadap waktu, maka diperoleh:

( kecepatan A yang diamati oleh pengamat S).

………………………..(13)

……………………………….(14)

Pengamat S akan mengamati kecepatan A sebesar :

…………………………………………………………….(15)

Subtitusikan persamaan (13) dan (14) ke persamaan (15)

…………………………………………………………(16)

Keterangan :

v_x = Kecepatan A relatif terhadap pengmat diam S. ( kecepatan A diukur oleh pengamat diam S).

v_x’ = Kecepatan A relatif terhadap pengamat bergerak S’ ( kecepatan A diukur oleh pengamat bergerak S’)

v = Kecepatan bergerak S’ relatif terhadap pengamat diam S.( kecepatan pengamat bergerak S’ diukur oleh pengamay diam S)

c = kecepatan cahaya ( 3 x 10⁸ m/s).

Komponen kecepatan partikel A dalam arah sumbu Y dan Z dapat diturunkan sebagai berikut :

Karena y’ = y, maka

= v_y

………………………(17)

Dengan cara yang sama, diperoleh komponen kecepatan A dalam arah sumbu Z:

………………………..(18)

Bila partikel A bergerak sejajar sumbu x, maka v_y = v_z = 0. Berarti persamaan (17 dan (18) menjadi :

V_y’ = 0

V_z’ = 0

Bila partikel A bergerak dalam arah satu dimensi, maka persamaan (16) dapat ditulis dalam lambing lain, yaitu:

………………………………………………………………(19)

Keterangan :

V’ = V_x’ = kecepatan partikel A diukur oleh pengamat bergerak (S’)

V = V_x= kecepatan partikel A di ukur oleh pengmat diam (S)

v = kecepatan pengamat bergerak (S’) diukur oleh pengamat diam (S)

c = kecepatan cahaya.

Catatan :

Postulat Einstein yang ke-2 yaitu kecepatan kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, dengan mudah dibuktikan dari persamaan (19)

Caranya sebagai berikut:

Bila partikel A merupakan cahaya, maka V = c.

Jadi :

Terbukti bahwa, kecepatan cahaya yang diamati oleh pengamat diam maupun pengamatan bergerak ternyata sama besar (V = V’ = c ).

contoh soal:

Partikel A bergerak dengan kecepatan0.8 c kekanan relative terhadap laboratorium yang diam. Partikel B juga bergerak dengan kecepatan 0.6 c relative terhadap partikel A. itung kecepatan partikel B relative terhadap laboratorium.

Penyelesain :